CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CALCULO DIFERENCIAL ORTIZ

PISKUNOV I

PISKUNOV II

DERIVADA CÓLERA

 

INTEGRALES RESUELTAS

Cálculo de varias variables - Trascendentes tempranas -
 8 edición - Stewart

ANÁLISIS VECTORIAL

MANUAL

MANUAL II

MODELOS MATEMÁTICOS


LO DEMOSTRABLE E INDEMOSTRABLE

Economipedia

➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖

EL CUBO DE RUBIK

Soluciones

Prof. Carlos Raúl Ortiz Glassiani

EN 7  PASOS

• ' _ movimiento antihorario
• 1_ D (derecha) el lado directamente a la derecha del frente.
• 2_ I (izquierda): el lado directamente a la izquierda del frente.
• 3 _A (arriba): el lado encima o en la parte superior del lado frontal.
• 4_B (abajo): el lado opuesto a la parte superior, debajo del cubo.
• 5_ F (frente): el lado enfrente a la persona.
• 6 _F(ADA´D´)F´  de L especula a CRUZ 
• 7_F(DADÁ´)F´ de - a CRUZ
• 8_A(D´A´´DAD´AD) CAMBIAR ESQUINAS 
• 9 _(D´A´´DAD´AD)A´(D´A´´DAD´AD) CAMBIAR VERTICAL
• 10_F(DADA´)*(DADA´)*(DADA´)*F´ CAMBIAR ESQUINAS HORIZONTALES 
• 11 _(AIA´)D´(AI´A´)D ESQ. BIEN ANTIHORARIO
• 12_D´(AIA´)D(AI´A´)  ESQ. BIEN HORARIO
• 13_(D´´I´´BD´´I´´A´´)2  DIAGONALES
• 14 _(FBF´B´)2A´(BFB´F´)2A   LAS ESQ. DISTINTAS
• 15 _(FBF´B´)2A(BFB´F´)2A    LAS ESQ. IGUALES
• 16_(FBF´B´)2A´´(BFB´F´)2A´´ DIAGONAL IGUAL

➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖

EL CUBO DE RUBIK

MÉTODO UCRANIANO

Mecanismo


Un cubo de Rubik estándar mide 5,7 cm en cada lado, aunque existen variaciones .^[7]​ El rompecabezas consta de 26 piezas o cubos pequeños. Cada una incluye una extensión interna oculta que se entrelaza con los otros cubos, mientras les permite moverse a diferentes posiciones. Sin embargo, las piezas centrales de cada una de las seis caras son simplemente un cuadrado fijado al mecanismo principal. Esto provee la estructura para que las otras piezas quepan y giren alrededor. De este modo hay 21 piezas: una pieza central consistente de tres ejes que sostienen los seis centros cuadrados en su lugar pero dejando que giren y 20 piezas de plástico que caben en él para formar el rompecabezas montado.
Cada uno de los seis centros gira en un tornillo (sujetador) asidos por la pieza central. Un resorte entre cada cabeza de tornillo y su correspondiente pieza tensiona la pieza hacia el interior, por lo que el conjunto se mantiene compacto, pero todavía se puede manipular fácilmente. El tornillo se puede apretar o aflojar para cambiar la tensión del cubo. Los cubos de marca oficiales más recientes tienen remaches en lugar de tornillos, por lo que es imposible ajustarlos.
El cubo puede ser desarmado sin demasiada dificultad, generalmente rotando la capa superior unos 45° y haciendo palanca para quitar una pieza arista. Por lo tanto, este es un proceso simple de "resolver" el cubo, desmontarlo y volverlo a armar en un estado resuelto.
Hay seis piezas centrales que muestran una cara de un solo color, doce piezas arista que muestran dos caras coloreadas, y ocho piezas vértice que muestran tres caras coloreadas. Cada pieza muestra una combinación única de colores, pero no todas las combinaciones están presentes (por ejemplo, si rojo y naranja son lados opuestos de un cubo resuelto, no habrá una pieza arista roja-naranja). La localización relativa de esos cubos con respecto a otros puede ser alterada girando el tercio exterior o lado del cubo 90°, 180° o 270°, pero la ubicación relativa del color de los lados con respecto a otros no puede ser cambiada: está determinada por la posición relativa de los cuadrados centrales.
Douglas Hofstadter en la edición de julio de 1982 de Scientific American, señaló que los cubos podían estar coloreados de tal manera que enfatizaran las aristas o los vértices, en vez de las caras, como el coloreo estándar lo hace; pero ninguno de estos coloreos alternativos se volvió popular.^[20]​

Matemática

Teoría de grupos


Sea P el conjunto de permutaciones del cubo de Rubik. Podemos definir la operación "seguida por", denotada por →, como
→: P × P → P
tal que a → b := b ∘ a:
es decir, a → b es el resultado de ejecutar primero a y luego b.
Llamaremos secuencia o algoritmo a cualquier expresión de la forma a₁ → a₂ → ... →a_n, donde a₁, a₂, ... , a_n son giros.


Afirmación: (P, → ) es un grupo.




Demostración:


• Clausura: a,b∈P, es facil ver quer a∘b∈P, dado que son giros permitidos.
• Asociativa: (a → b ) → c = c ∘ (b ∘ a) = (c ∘ b) ∘ a = a → (b → c).
• Elemento neutro: la permutación trivial, la cual denotaremos por , que corresponde a no hacer ningún giro, es decir, P →  =  → P = P.
• Inversos: cada permutación tiene inversa. En efecto, si P = a₁ → a₂ → ... →a_n es una secuencia y definimos Q = a_n^-1 → ... → a₂^-1 →a₁^-1, se comprueba trivialmente que P → Q = Q → P = .





Permutaciones

El cubo de Rubik original (3×3×3) tiene ocho vértices y doce aristas. Hay  (40 320) formas de combinar los vértices del cubo. Siete de estas pueden orientarse independientemente y la orientación de la octava dependerá de las siete anteriores, dando  (2187) posibilidades. A su vez hay  (239 500 800) formas de disponer las aristas, dado que una paridad de las esquinas implica asimismo una paridad de las aristas. Once aristas pueden ser volteadas independientemente y la rotación de la duodécima dependerá de las anteriores, dando  (2048) posibilidades. En total el número de permutaciones posibles en el cubo de Rubik es de:
 = 43 252 003 274 489 856 000
Es decir, cuarenta y tres trillones doscientos cincuenta y dos mil tres billones doscientos setenta y cuatro mil cuatrocientos ochenta y nueve millones ochocientos cincuenta y seis mil permutaciones.^[23]​
El rompecabezas es a menudo promocionado teniendo solo "millardos" de posiciones, ya que números más grandes no son muy familiares para la mayoría de la gente.

Caras centrales



Void Cube, cubo de 3×3×3 sin caras centrales



El cubo de Rubik original no tenía marcas en las caras centrales (aunque algunos traían las palabras "cubo de Rubik" en el cuadrado central de la cara blanca), y por ende resolverlo no requería prestar atención en orientar correctamente dichas caras centrales. Sin embargo, algunos cubos han sido producidos comercialmente con marcas en todos los centros, como el cuboku. Teóricamente puede resolverse un cubo teniendo los centros rotados; pero se convierte en un desafío adicional resolver también los centros.
Marcar los centros del cubo de Rubik aumenta su dificultad debido a que expande el conjunto de posibles configuraciones distinguibles. Hay 4⁶/2 (2048) maneras de orientar los centros, dado que una paridad de los vértices implica un número par de movimientos simples de los centros.
En particular, cuando el cubo es resuelto, aparte de las orientaciones de las caras centrales, siempre existirá un número par de caras centrales que requieren un giro de 90º. Las orientaciones de los centros incrementan el número total de permutaciones posibles del cubo de 43 252 003 274 489 856 000 (4.3 × 10¹⁹) a 88 580 102 706 155 225 088 000 (8.9 × 10²²).^[24]​
Girar un cubo alrededor de su propio eje es considerado un cambio de la permutación, ya que involucra contar las posiciones de las caras centrales. En teoría, existen 6! formas de disponer las seis caras centrales del cubo, pero solo 24 de estas son posibles sin tener que desarmar el cubo. Cuando las orientaciones de los centros también son contadas, el total de las permutaciones incrementa de 88 580 102 706 155 225 088 000 (8.9 × 10²²) a 2 125 922 464 947 725 402 112 000 (2.1 × 10²⁴)





Algoritmos



En la terminología de los aficionados al cubo de Rubik, una secuencia memorizada de movimientos que tiene un efecto deseado en el cubo es llamado algoritmo. Esta terminología deriva del uso matemático de algoritmo, un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos. Cada método de resolver el cubo emplea su propio conjunto de algoritmos, junto a descripciones de cuál es el efecto del algoritmo y cuándo puede ser usado para llevar al cubo a un estado más cercano a estar resuelto.
Muchos algoritmos son diseñados para transformar solo una pequeña parte del cubo sin desarmar otras partes ya resueltas y así poder ser aplicados repetidamente a diferentes partes del cubo hasta que quede resuelto. Por ejemplo, hay algoritmos para intercambiar tres vértices o cambiar la orientación de dos vértices sin cambiar al resto del rompecabezas.
Algunos algoritmos tienen un efecto deseado en el cubo (por ejemplo, intercambiar dos vértices) pero pueden tener efectos colaterales (como permutar dos aristas). Dichos algoritmos son a menudo más simples que otros sin efectos no deseados y son más comúnmente empleados al principio, cuando la mayor parte del rompecabezas no ha sido resuelto y los efectos secundarios no son importantes. Hacia el final de la solución son usados algoritmos más específicos (y por lo general más complejos) para evitar mezclar partes del cubo que ya han sido resueltas.






Soluciones
Prof. Carlos Raúl Ortiz Glassiani


EN 7  PASOS
• ' _ movimiento antihorario
• 1_ D (derecha) el lado directamente a la derecha del frente.
• 2_ I (izquierda): el lado directamente a la izquierda del frente.
• 3 _A (arriba): el lado encima o en la parte superior del lado frontal.
• 4_B (abajo): el lado opuesto a la parte superior, debajo del cubo.
• 5_ F (frente): el lado enfrente a la persona.
• 6 _F(ADA´D´)F´  de L especula a CRUZ 
• 7_F(DADÁ´)F´ de - a CRUZ
• 8_A(D´A´´DAD´AD) CAMBIAR ESQUINAS 
• 9 _(D´A´´DAD´AD)A´(D´A´´DAD´AD) CAMBIAR VERTICAL
• 10_F(DADA´)*(DADA´)*(DADA´)*F´ CAMBIAR ESQUINAS HORIZONTALES 
• 11 _(AIA´)D´(AI´A´)D ESQ. BIEN ANTIHORARIO
• 12_D´(AIA´)D(AI´A´)  ESQ. BIEN HORARIO
• 13_(D´´I´´BD´´I´´A´´)2  DIAGONALES
• 14 _(FBF´B´)2A´(BFB´F´)2A   LAS ESQ. DISTINTAS
• 15 _(FBF´B´)2A(BFB´F´)2A    LAS ESQ. IGUALES
• 16_(FBF´B´)2A´´(BFB´F´)2A´´ DIAGONAL IGUAL


Cuando una letra es seguida por una prima, indica un movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que una letra sin prima indica un movimiento en sentido de las agujas del reloj. Una letra elevada a un 2 ( en superíndice, ²) indica dos giros, o un giro de 180º.
Para métodos que usan giros de capas medias (particularmente el método de vértices primero, desarrollado por Ernő Rubik) generalmente se acepta una extensión de la notación llamada «MES», donde las letras M, E y S indican movimientos de capas medias. Es usado, por ejemplo, en los algoritmos de Marc Waterman.^[27]​











DODECAEDRO FACIL DE RESOLVER





MÉTODO UCRANIANO







PROF.RUBIK

• CLUBES DE MATEMÁTICA e INFORMÁTICA  : Actividades que les permite desarrollar otras áreas del cerebro ,Al utilizar los libros- como el Copetti 2° Geometría Racional-  y el software GEOGEBRA la intuición desarrolla el alumno. Alumnos ávidos ,sedientos de conocimiento.