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prof.Carlos Ortiz Con derecho de autor registro BIBLIOTECA NACIONAL
Como Reg. INV. MECANISMOS ARTICULADOS .Presentados en seminario y congresos int.
GEOMETRÍA
¿Dónde estamos y por qué?
La geometría constituyó en un tiempo el núcleo de la educación matemática inicial.
Elementos.
Euclides.
Auge de la geometría elemental en el siglo 19.
Yaglom.
Declive en el siglo 20.
Proceso de axiomatización, rigorización, algebraización.
Exilio de la geometría en los años 1950
Bourbaki.
Substitución por conjuntos, álgebra, geometría analítica,...
Dieudonné
Intentos actuales por reintroducir la geometría. Diferentes aspectos geométricos
El estudio del ICMI sobre Geometría
I.M.Yaglom, Geometría Elemental, Entonces y Ahora, en
Chandler Davis, Branko Gracia y F.A. Sherk (editores)
The Geometric Vein, The Coxeter Festschrift
(Springer, Nueva York, 1981), pp.253-269 Lasanas secciones se.
Matemáticas discretas y geometría
discreta 3. Geometría Combinatoria: La Geometría Elemental de la Segunda Mitad del
siglo XX 1. Geometría Elemental del siglo XIX
¿Qué es la geometría elemental y cuándo se originó? La primera de estas preguntas -el contenido de la geometría elemental- no es en absoluto simple, y una respuesta clara no es posible. La respuesta más natural para los fines actuales
sería la siguiente: "La geometría elemental es la colección de esos conceptos geométricos y teoremas tomados en la escuela secundaria, junto con las consecuencias inmediatas de estos teoremas." Sin embargo, a pesar de la aparente simplicidad de esta respuesta, plantea a la vez una serie de objeciones. La apelación a la palabra "geométrica" en la definición es en sí misma difícil de interpretar, ya que la pregunta "¿qué es la geometría?" tampoco admite ninguna respuesta clara (sobre eso, más abajo); pero en cualquier caso, la rápida tasa de cambio en los planes de estudios escolares en todos los países del mundo, que actualmente parece alcanzar su máximo, nos obligaría si adoptamos esa definición a aceptar la existencia de geometrías elementales indefinidamente. El concepto tendría que cambiar no sólo de un país a otro, sino para cada país dado también de un año a otro, si no incluso de la escuela a la escuela. Además, tal definición se refiere claramente sólo al contenido de la asignatura de la escuela "geometría elemental", mientras que estamos aquí preguntando sobre el contenido de la ciencia correspondiente o, ya que la palabra "ciencia" aquí puede parecer pomposa, sobre la dirección correspondiente del pensamiento científico.
Sin embargo, la dificultad de definir la noción de "geometría elemental" no nos quita en absoluto nuestro derecho a usar el término. Así, en la primera mitad de este siglo mucha discusión rodeó la consideración del término "geometría". La primera definición general de geometría, dada en 1872 por el destacado matemático alemán Felix Klein (1849-1925) en su "Programa Erlanger", demostró no ser aplicable a toda la gama de subdivisiones de geometría -en particular a las que en ese período atrajeron más atención de matemáticos y físicos. Pero no se pudo encontrar ningún sustituto para ello. En este sentido, el eminente geómetro estadounidense Oswald Veblen (1880-1960) propuso en 1932 que la geometría se limitara por definición a esa parte de las matemáticas que un número suficiente de personas de reconocida competencia en la materia consideraron apropiada para designar, guiado tanto por sus inclinaciones y sentimientos intuitivos, como por tradición. Esta "definición" es francamente irónica; sin embargo, durante muchos años se mantuvo como el único generalmente aceptado por los eruditos, y los artículos y estudios científicos se dedicaron a defenderlo (menos al análisis de la "definición" de Veblen, por supuesto, que a demostrar la imposibilidad de cualquier otro). Proponemos seguir este ejemplo, llamando a la geometría elemental esa parte de la geometría que es reconocida por un número suficientemente grande de expertos y conocedores como meritorio del título.
Con este entendimiento, está claro que la geometría elemental es el estudio de una multitud de propiedades de triángulos y polígonos, círculos y sistemas de círculos -bastante no triviales y en parte propiedades totalmente inesperadas, establecidos en tratados especializados sobre el tema (por ejemplo, [1]), y bien conocido sólo por un pequeño número de especialistas en el campo (entre los cuales, por cierto, , el autor de estas líneas no presume de incluirse a sí mismo). Los especialistas son pocos, al igual que los especialistas serios en cualquier dominio suficientemente extenso y muy avanzado del conocimiento: por ejemplo, en la recolección de sellos postales o la teoría de K algebraica.
Vamos a ilustrar esto para un grupo no demasiado grande de teoremas bastante característicos de la "geometría elemental clásica" -o, ya que el adjetivo "clásico" aquí se refiere no a la Antiguedad musty, sino a un pasado relativamente reciente en la escala de la historia humana, de "geometría elemental del siglo XIX." Considere un Delta cuadrilátero arbitrario no un trapecio, cuyos lados son las cuatro líneas a1, a2, a3, a4. (O simplemente podemos significar por Delta un cuádruple de líneas ai, no hay dos paralelos, y no tres pasando a través de cualquier punto.) Tomado tres a la vez, estas líneas forman cuatro triángulos T1, T2, T3, T4. A continuación, los puntos de intersección de las altitudes (ortocentros) de nuestros triángulos Ti se encuentran en una línea s (a veces llamada la línea Steiner del delta cuadrilátero después del famoso suizo Jacob Steiner (1796-1863); los puntos medios de las diagonales de A y el punto medio del segmento uniendo los puntos de intersección de sus pares de lados opuestos, se encuentran en otra línea g (esto fue descubierto por el gran Karl Friedrich Gauss (1777-1855), en cuyo honor g se llama la línea Gauss de Delta; aquí siempre s es perpendicular a g. Además, los círculos circunscritos sobre los triángulos Ti se cruzan en un solo punto C (la carta que hace referencia al inglés William Kingdon Clifford (1845-1879), en cuyo honor sería apropiado llamar a C el punto Clifford de Delta); los pies de las perpendiculares cayeron de C en los lados del Delta y se encuentran en una línea w, que podría llamarse la línea Wallis del cuadrilátero después de uno de los predecesores de Newton, el inglés John Wallis (1616-1703). También los círculos de nueve puntos del Ti, que pasan por los puntos medios de los lados de estos triángulos, se cruzan en un punto E, que podemos llamar el punto Euler del Delta después de otro suizo, el famoso Leonhard Euler (1707-1783).
Considere ahora un pentágono II con los lados a1, a2, a3, a4, a5. Los cinco cuádruples de líneas (a1, a2, a3, a4), . . . , (a2, a3, a4, a5) describen cinco cuadriláteros A5, A4, A3 A2, A1,. Las líneas Gauss g5, . . . , g1, de nuestros cuadriláteros se cruzan en un punto G (el punto Gauss de III); sus puntos Clifford C5,...,C1, se encuentran en un círculo c (el círculo Clifford de II); en caso de que el pentágono II esté inscrito en un círculo también se pueden definir los conceptos de punto Euler y línea Wallis de II (véase, por ejemplo [2, capítulo II, sección 8]); y esta serie de teoremas puede ser muy extendida (véase [3, Capítulo 5]).
Después de haber dado esta respuesta a la pregunta del contenido de la geometría elemental, podemos pasar a la segunda de las preguntas planteadas, en la fecha de su origen. Para los aficionados a la geometría elemental la respuesta a esta pregunta es bien conocida, pero otros pueden encontrar un poco sorprendente: la ciencia de triángulos y círculos -geometría elemental- fue fundada en el siglo XIX. ¿Qué? no antes? no en la antigua Grecia? Escucho las preguntas dudosas del lector no demasiado bien informado sobre la historia de las matemáticas -no por los grandes Euclides y Arquímedes, sino por algunas incógnitas u otras que no vivían hace más de cien años? Sí, es mi respuesta, incluso hace menos de cien años; para el cuerpo central de teoremas geométricos elementales conocidos hoy en día fueron descubiertos en el último tercio del siglo XIX y (en menor medida) la primera década del XX. (véase (1))
El punto es que los gigantes de las matemáticas griegas antiguas (y tal vez esto es exactamente por eso que merecen ser llamados gigantes) parecen no haber incluido a nadie seriamente preocupado por la geometría elemental. El gran Euclides (alrededor de 300 B.C.) fue el autor del primer libro de texto de geometría (elemental) que ha llegado a nosotros (¡y qué notable libro de texto es! -que puede tener algo que ver con la desaparición de los textos que lo precedieron). Sin embargo, los intereses personales de Euclides, y aparentemente también sus contribuciones personales, parecen haber estado en otras áreas (posiblemente en el estudio de los números en lugar de las cifras: piensen en la famosa prueba euclidiana de la infinitude de los primos). Tan limitado fue el conocimiento de Euclides de la teoría de los triángulos que ni siquiera conocía el teorema elemental en el punto de intersección de las altitudes, que Albert Einstein tan apreciado por su notrivialidad y belleza. El poderoso Arquímedes (siglo III B.C) fue uno de los fundadores de la mecánica (teórica o matemática), y uno de los progenitores del "análisis matemático" moderno (cálculo); pero al triángulo, y los puntos y círculos asociados con él, le dio poca atención. Apolonio de Perga, el contemporáneo más joven de Arquímedes, estaba profundamente versado en todas las propiedades posibles de las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) -pero no de triángulos y círculos. Finalmente, el último de los grandes matemáticos griegos antiguos, Diophantus de Alejandría (probablemente del siglo III d.C.), estaba interesado sólo en la aritmética y la teoría de números, no en la geometría.
Así, en el ámbito de la geometría elemental, como tradicionalmente se entiende el término, los conocimientos acumulados en la antigua Grecia no fueron especialmente profundos; ni hubo grandes progresos en los siglos posteriores, hasta el siglo XIX. En el siglo XIX, por otro lado, especialmente en la segunda mitad, a través del trabajo de una multitud de investigadores, una porción apreciable de los cuales eran profesores de matemáticas de la escuela secundaria (véase 2) se descubrieron una serie de teoremas sorprendentes e inesperados, una idea de la cual es dada por los establecidos anteriormente. Estos teoremas fueron recogidos en muchos libros de texto de geometría elemental (como los libros [1] y [4]) o más estrechamente de la geometría del triángulo (cf. [5]) o "geometría del círculo" (véase [6]), la mayoría de los cuales aparecieron a finales del siglo XIX o el primero del siglo XX.
El siguiente hecho puede servir para corroborar este relato. A principios del siglo XX, F. Klein concibió el grandioso proyecto de publicar un Enzyklopedie der mathematischen Wissenschaften, que concibió como una gran acumulación hasta ese momento de conocimiento de las matemáticas puras y aplicadas. Klein puso en marcha mucha actividad en el proyecto; logró alistar a un amplio colectivo de destacados académicos de muchos países, y en sacar una obra de muchos volúmenes, que ahora ocupa más que un estante en muchas bibliotecas importantes. Sin duda, este proyecto nunca llegó a una conclusión (se hizo más claro y claro que con el paso del tiempo la cantidad de material "todavía" incluido no estaba disminuyendo sino aumentando, ya que el crecimiento de la "Enciclopedia" estaba siendo muy superado por el progreso de la ciencia), y ahora ha estado sin perder desactualizado. Para preparar el artículo sobre geometría elemental para esta publicación, Klein asignó al profesor alemán Max Simon, quien disfrutó de la reputación de ser el experto más fuerte en esta área. Posteriormente, sin embargo, Klein decidió no incluir una sección en la Enciclopedia sobre geometría elemental, considerando acertadamente que esta área del conocimiento, con más significado pedagógico que científica, estaba fuera de lugar en un trabajo estrictamente científico. Como resultado, la encuesta de Simon, que aspiraba a la plenitud enciclopédica de la cobertura de todo lo que se conocía en la geometría elemental a principios del siglo XX, tuvo que ser publicada como un libro separado; este trabajo [71 sigue siendo muy apreciado por especialistas y amantes de la geometría elemental. En el prólogo de su libro M. Simon vio oportuno subrayar que se ocupaba del desarrollo de la geometría elemental en un solo siglo, el XIX, que había quedado claro en el transcurso de la preparación del libro que una encuesta completa de todo lo que se había hecho en geometría elemental coincidía esencialmente con lo que se había hecho en el siglo pasado.
Así, el 19 es la "edad de oro" de la geometría elemental clásica. La floración del estudio de triángulos, círculos, y sus relaciones se extendieron hasta principios del siglo XX, involucrando a algunos de los matemáticos prominentes de la época (por ejemplo, Henri Léon Lebesgue (1875-1941), que sacó un libro de construcciones geométricas con círculos y líneas, y que tuvo resultados curiosos sobre el llamado teorema de F. Morley en los triseguros de un triángulo -en el que ver [4]). Pero a finales del primer cuarto de este siglo se observa una clara caída del interés en esta área. Sin duda, los tratados amplios aparecen como antes en la geometría elemental (como en la "geometría del tetraedro"), y las revistas se publican dedicadas total o principalmente a ella(véase (3))
Todavía se hace evidente que el interés general en esta parte de la geometría está disminuyendo. Sea testigo de la desaparición casi completa de publicaciones sobre este tema en revistas matemáticas serias, y de charlas sobre el tema por científicos eminentes en grandes conferencias y congresos - ambos de los cuales en el siglo XIX fueron casi la norma. Y este relativo declive de la geometría elemental no estaba en absoluto relacionado con el agotamiento de la materia, ya que se siguieron descubriendo nuevos teoremas sobre geometría elemental -frecuentemente todavía bastante llamativo e inesperado-; claramente algunas otras circunstancias más profundas deben estar involucradas.
Para identificar algunas de las causas tanto de la floración como del posterior eclipse de geometría elemental clásica, tendremos que recurrir a algunas leyes generales de desarrollo científico que a veces son difíciles de formular pero que son fáciles de observar y en principio totalmente explicables. Cabe señalar en primer lugar que el gran interés en el estudio de triángulos, cuadriláteros y círculos que vemos a lo largo del siglo XIX no fue en absoluto un fenómeno aislado; estaba íntimamente relacionado con el florecimiento en este período de la llamada geometría sintética, es decir, la geometría basada no en dispositivos analíticos que implican el uso de uno u otro sistema de coordenadas, sino en la inferencia deductiva secuencial de axiomas (véase (4)). La geometría sintética en este período no fue estudiada como un fin en sí mismo: estimuló una serie de importantes ideas matemáticas generales. En el núcleo de esta preocupación estaba el concepto de la no singularidad de la geometría tradicional (o "escuela") de Euclides, de la existencia de una abundancia de en cierto sentido disciplinas geométricas igualmente dignas, como la geometría hiperbólica de Lobacevskii y Bolyai o la geometría proyectiva. Prepararon el terreno para síntesis generales serias como el "programa Erlanger" de Klein mencionado anteriormente. Todo esto facilitó también la seria planteación de la cuestión de la naturaleza lógica de la geometría (o incluso de todas las matemáticas, ya que en el siglo XIX el tema de los fundamentos de las matemáticas fue analizado casi exclusivamente para la geometría), dando lugar a varios sistemas de axiomas para la geometría que fueron elaborados por una serie de investigadores (entre ellos italianos y alemanes: Giuseppe Peano, Mario Pieri, Moritz Pasch, David Hilbert) a principios del siglo XX; esto desempeñó un papel muy importante en el desarrollo de las matemáticas del siglo XX.
Un lugar especialmente prominente en el desarrollo de la geometría sintética en el
siglo XIX fue ocupado por la geometría proyectiva. Yo llegaría a afirmar que no sólo la geometría proyectiva en un sentido bien conocido creció a partir de la geometría elemental (este enfoque de la geometría proyectiva se enfatiza en el libro [9] dirigido a los principiantes), sino que también la geometría elemental del siglo XIX fue en un sentido significativo producido por la geometría proyectiva -una circunstancia que a Felix Klein le gustaba señalar, y que se destaca especialmente cuando se analiza el trabajo elemental-geométrico de eminentes líderes de las matemáticas del siglo XIX como K. F. Gauss o J. Steiner. Así, por ejemplo, toda la "geometría del triángulo", con todas las propiedades de los "puntos especiales" y "círculos especiales" asociados a un triángulo, se puede encajar perfectamente en el programa de investigación de las propiedades proyectivas de los pentágonos -los primeros polígonos que tienen propiedades proyectivas distintivas (cuadriláteros, siendo todos "proyectivamente equivalentes", no pueden tener propiedades proyectivas individuales). La transición de 5-gons proyectados a euclidianos 3-gons requiere sólo la identificación de dos de los cinco vértices de la 5-gon con los "puntos cíclicos (ideales)" cuya fijación en el plano proyectivo convierte la geometría proyectiva a euclidiana. (Véase, por ejemplo, el libro clásico [10]; tenga en cuenta que la sección cónica, que es el objeto principal de investigación en geometría proyectiva, entra en un círculo si se requiere que pase a través de los puntos cíclicos.)
Pero luego en la primera mitad del siglo XX llegó una disminución muy palpable (aunque tal vez temporal) en la geometría sintética. "El moro ha hecho su trabajo, el moro puede irse": las ideas y entendimientos generales mencionados anteriormente, que habían crecido a partir de la geometría sintética, ya se establecieron, y la geometría sintética ya no era necesaria. Es bien sabido que la historia de la ciencia exhibe flujos y corrientes; si el siglo XIX era la edad de oro de la geometría, entonces nuestros tiempos se distinguen por la preeminencia del álgebra, por la distintiva "algebraización" de todas las ramas de las matemáticas reflejada en la aceptación de las estructuras matemáticas de Nicolas Bourbaki, convirtiendo incluso la geometría prácticamente en una parte del álgebra En esta situación no es sorprendente que la geometría proyectiva, la geometría proyectiva, la geometría, por ejemplo, manteniendo su posición como una parte importante del curso de geometría de la escuela (véase, por ejemplo, los libros [111 y [12]), tiene en el dominio estrictamente científico una transformación discretamente tal que hoy en día las preguntas algebraicas juegan si algo más importante que la geométrica (véase, por ejemplo, el texto antiguo pero todavía popular [13]). Ahora recordando también que la "algebraización" general de las matemáticas, poniendo las estructuras algebraicas tanto como sea posible en primer plano, planteó directamente la cuestión de la revisión de los cursos de geometría escolar, que muchos matemáticos y educadores propusieron basar en el concepto (esencialmente algebraico!) del espacio vectorial -vemos que ha habido una erosión significativa incluso en el núcleo de la única "aplicación" posible de la geometría primaria clásica, su uso en la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Pero
Una buena ilustración de la algebraica de la geometría es proporcionada por el popular enfoque axiomático de la geometría por Friedrich Bachmann [14], que da prioridad a los conceptos puramente algebraicos (grupos generados por sus elementos involutivos). Otro ejemplo claro es el reciente conjunto de axiomas de Walter Prenowitz (véase [15]), especialmente adecuado para el análisis de ideas relacionadas con la noción de convexidad: permite la introducción de una nueva "multiplicación" de puntos, por la cual el producto A * B (o A B) de los puntos A y B debe considerarse como el segmento con puntos finales A y B; esta multiplicación es conmutativa, asociativa, idempotente y distributiva sobre la adición set-teorética. También se podría citar el folleto sobre polígonos [16], tan típico de las tendencias actuales: si su título y la mayoría de sus resultados lo convierten en un trabajo sobre geometría elemental, sin embargo, las herramientas y métodos utilizados lo identifican más bien como un libro sobre álgebra general (teoría de las celosías). Señalo también que pude llenar el libro [2] con material de geometría elemental bajo la cubierta de la naturaleza puramente algebraica de las técnicas utilizadas (la teoría de los números hipercomplejos o diversos álgebras que tienen elementos de la forma x + Iy, donde x e y pertenecen a R, e I-2-1,0 o +1); pero para eso, las hermosas construcciones puramente geométricas que aparecen en [2] hoy no interesarían a nadie.
Especialmente sorprendente también para los matemáticos de mi generación es la transformación experimentada ante nuestros ojos por topología. Mientras que en nuestros años de estudiante era considerado como una parte de la geometría y trabajó extensamente con la visualización intuitiva, la topología moderna (algebraica) por sus herramientas y métodos no pertenece a la geometría, sino al álgebra. Esta revolución ha expulsado de la topología a varios investigadores de un giro más geométrico de la mente, incluso produciendo en casos aislados traumas de emociones graves(véase (5)).
Interesante a este respecto es la posición de Jean Dieudonné, uno de los matemáticos franceses autorizados y un líder en la fundación del grupo Bourbaki. De acuerdo con la orientación general de este grupo, Dieudonné se opone rottivamente a retener en matemáticas escolares enseñando cualquier traza sea cual sea la geometría primaria clásica, es decir, la "geometría del triángulo" y todos sus parientes y subdivisiones. Esto a pesar de la conexión aparentemente incontrovertible entre el alto nivel de las matemáticas francesas y las tradiciones de instrucción en los liceos franceses, donde los estudiantes fueron entrenados en la solución de problemas sutiles y bastante complicados de la escuela-geométrica (véase por ejemplo los libros escolares clásicos [17] y [18], el segundo de los cuales es por uno de los mayores matemáticos del siglo XX). Ya en 1959, en una conferencia sobre la enseñanza de las matemáticas en Réalmont, Francia, Dieudonné se levantó y lanzó los eslóganes "¡Abajo Euclides!" y "¡Muerte a triángulos!" -y mantiene su apoyo a estos eslóganes hasta el día de hoy. En numerosos discursos sobre temas pedagógicos, Dieudonné ha expresado repetidamente el deseo de que los estudiantes de secundaria (y profesores) olviden lo antes posible la existencia misma de figuras como triángulos y círculos. El libro escrito idiosincrásicamente de Dieudonné [19] (véase especialmente su Introducción) está totalmente dedicado a la defensa de la siguiente idea metodológica: La geometría elemental no es más que álgebra lineal -y ninguna otra geometría elemental debería existir (hasta tal punto que el libro [19] sobre geometría elemental está bastante exento de cifras, y nunca menciona la palabra "triángulo"). Una posición diferente es tomada por A. N. Kolmogorov, cuyos libros de texto de geometría están actualmente en uso por todos los estudiantes secundarios en los EE.UU.R.; pero incluso estos libros de texto están dispuestos de tal manera que casi completamente carecen de problemas geométricos sustanciales. (En este sentido, son inferiores a los libros de texto escolares estadounidenses, que generalmente se basan en la axiomatización bastante ungeométrica de G. D. Birkhoff [20].)
Por lo tanto, hoy en día la geometría elemental "clásica" tiene un estado claramente perdido. Tenga en cuenta también que el tema prácticamente ha desaparecido de los problemas propuestos a los competidores en las olimpiadas matemáticas internacionales. Pero "la naturaleza aborrece un vacío" -y el lugar dejado vacante por la geometría elemental "clásica" ha sido tomado con alacridad por la geometría elemental "nueva" o "contemporánea", la "geometría elemental del siglo XX", a la que ahora giramos.
REFERENCIAS
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(1) Tenga en cuenta a este respecto que mientras que Gauss, Steiner. y Clifford (todos los matemáticos del siglo XIX) realmente conocían los teoremas asociados con su nombre, las denominaciones "Wallis line" (Wallis era un matemático del siglo VII) y "Euler point" (Euler vivió en el siglo XVIII) son más bien una cuestión de convención, para los teoremas correspondientes no eran conocidos por estos autores (Wallis y Euler sólo conocían afirmaciones más simples relacionadas con las que hemos declarado (2) Entre ellos pueden ser mencionados especialmente el efímero Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) (cuyo hermano Ludwig se hizo famoso como filósofo).
Para nosotros hoy, K. W. Feuerbach aparece como el representante clásico de este movimiento. Pero los más grandes científicos del siglo XIX, como J. Steiner o incluso K. F. Gauss, no despreciaban en absoluto la investigación geometría elemental. (Por cierto, Steiner pertenece a la intersección de M y T donde M es el conjunto de matemáticos sobresalientes y T es el conjunto de maestros de la escuela.)
(3)Tal vez la publicación de este tipo que gozaba de la mayor reputación fue la revista belga Mathesis, apareciendo a partir de 1881. Esta revista mantiene su existencia hasta el día de hoy, pero la caída general del interés en el tema que defiende ha pasado factura en la revista, y hoy pocos matemáticos y profesores han oído hablar de su existencia. [La popularidad incomparablemente mayor es disfrutada en la actualidad por otra revista, Nico, también publicada en Bélgica y también dirigida principalmente a los profesores, que es en todos los sentidos lo contrario de Mathesis (el nombre Nico viene por abreviatura del nombre Nicolas Bourbaki).]
(4)Típica de las preferencias de la época era la prohibición plana de resolver un problema de construcción mediante un método algebraico -una prohibición que los maestros, preservando las actitudes típicas de principios del siglo XX, a menudo tomaban como tan evidente que ni siquiera lo expresaban.
(Yo mismo recuerdo el momento en que un problema de construcción resuelto algebraicamente a menudo se consideraba no resuelto, para la molestia de los alumnos.) (Para la relación entre la solución "geométrica" de los problemas de construcción por tales y tal elección de instrumentos prescritos de antemano, y el método axiomático en geometría, véase, por ejemplo, el libro [8].)
(5)No es nada sencillo hacer una división ordenada entre geometría y álgebra; pero creo que se puede afirmar sin calificación sobre la base de datos fisiológicos contemporáneos que las representaciones geométricas ("imágenes") se encuentran entre las que alistan la actividad de la mitad derecha del cerebro humano, mientras que las fórmulas algebraicas (secuenciales) están controladas por el hemisferio
izquierdo. Desde este punto de vista, tal vez las personas deberían dividirse en geómetros naturales y algebraicos naturales de acuerdo con el predominio en su vida intelectual de uno u otro hemisferio. Así contaría a Newton (y Hamilton) entre los geómetros, mientras que Leibniz (y aún más Grassmann) pertenecen más bien a los algebraicos. (Los intereses filológicos de Leibniz y Grassmann son dignos de mención aquí, ya que se sabe que todo lo relacionado con el habla y el lenguaje se relaciona con el hemisferio izquierdo; por el contrario, los intereses extramatológicos de Newton corrieron a imágenes tan nítidamente visuales de la cultura mundial como el Apocalipsis.) Así, el descubrimiento simultáneo del cálculo por Newton y Leibniz, o de vectores de Hamilton y Grassmann, fueron hechos, por así decirlo, "desde diferentes lados".
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- LEYES DE KEPLER .ARGUMENTACIÒN
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