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REGALANDO CUADRADOS MÁGICOS

Talismanes numéricos personalizados para todo el mundo

Piste bleue Le 2 juin 2022 - Ecrit par Andrés Navas

Le 23 juin 2022

Article original : Des carrés magiques en cadeaux

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Los cuadrados mágicos de números son bellos objetos que permiten conectar la matemática con una parte de su historia ; además, su comprensión no requiere de conocimientos demasiado elaborados. En este artículo damos una vía poco convencional para aproximarse a ellos mediante sistemas de ecuaciones lineales. Veremos cómo la solución de una de estas ecuaciones permite construir un cuadrado mágico personalizado, ¡con cualquier fecha de nacimiento en primera línea !

Un cuadrado de números y una tortuga

Un cuadrado mágico es un arreglo de n2 números en las casillas de un tablero n×n dispuestos de forma tal que la suma de los números de cada fila, los de cada columna, y los de las dos diagonales principales, son todas iguales. El más antiguo de estos cuadrados tiene su origen en China, y utiliza las cifras 1,2,…,9 distribuidas en un cuadrado 3×3. La suma asociada es, por lo tanto, igual a 15 :

4+9+2=3+5+7=8+1+6=15,

4+3+8=9+5+1=2+7+6=15,

4+5+6=2+5+8=15.

Este cuadrado es mundialmente conocido con el nombre de Luo Shu. La palabra shu significa tortuga, mientras que Luo es el nombre de un río. Una vieja leyenda cuenta que durante una inundación, el emperador chino fue al lugar para ofrecer plantas y flores a modo de ofrenda para los dioses. Sin embargo, una tortuga las rechazó una a una, devolviéndolas hacia la ribera. Esta tortuga tenía sobre su caparazón 45 marcas dispuestas como los números que aparecen en el cuadrado mágico 3×3.

Bonus track

leyenda cuenta que durante una inundación, el emperador chino fue al lugar para ofrecer plantas y flores a modo de ofrenda para los dioses. Sin embargo, una tortuga las rechazó una a una, devolviéndolas hacia la ribera. Esta tortuga tenía sobre su caparazón 45 marcas dispuestas como los números que aparecen en el cuadrado mágico 3×3.

En este artículo de Paisajes Matemáticos se cuenta un poco de la historia fascinante de los cuadrados mágicos y se expone un algoritmo para construir cuadrados 4×4 especiales (llamados ’’panmágicos’’ ; ver más abajo) con los números 1,2,…,16 (por tanto, la suma asociada es 34). Entre todos ellos, el más famoso es sin duda alguna el de Khajuraho, llamado Chautisa Yantra (la palabra ’’chautisa’’ significa 34).

Es importante señalar que, en general, la terminología ’’cuadrado mágico’’ se utiliza preferentemente para cuadrados n×n cuyas casillas se llenan con los números consecutivos 1,2,…,n2. Para estos cuadrados, el valor de la suma correspondiente es igual a

1n(1+2+…+n2)=1n⋅n2(n2+1)2=n(n2+1)2.

Ahora bien, nuestro objetivo aquí es investigar un poco el álgebra lineal de estos cuadrados, por lo que haremos caso omiso de esta restricción.

Cómo redescubrir todos los cuadrados mágicos 3×3

Procedamos a un primer cálculo. Tal como hemos señalado, no vamos a imponer ninguna condición a priori sobre los números que usaremos aparte de las ’’propiedades mágicas’’, es decir, que las sumas a lo largo de las filas, columnas y diagonales principales sean iguales. Para cuadrados 3×3, esto significa que buscamos las fórmulas ’’más generales posibles’’ para las ’’incógnitas’’ x, y, z, u, v, w, p, q, r que satisfagan las siguientes igualdades :

x+y+z=u+v+w=p+q+r==x+u+p=y+v+q=z+w+r==x+v+r=z+v+p.

Por cierto, el cuadrado en consideración es

x	y	z
u	v	w
p	q	r

Este cálculo no es difícil (lo dejamos como un ejercicio). Al parecer, quien lo desarrolló por primera vez fue Édouard Lucas en el siglo XIX. Las fórmulas se expresan de la manera siguiente :

ℓ−m	ℓ+m+n	ℓ−n
ℓ+m−n	ℓ	ℓ−m+n
ℓ+n	ℓ−m−n	ℓ+m

Los números ℓ,m,n son arbitrarios (pueden ser no enteros, ¡incluso no reales !). En efecto :

(ℓ−m)+(ℓ+m+n)+(ℓ−n)=3ℓ,

(ℓ+m−n)+(ℓ)+(ℓ−m+n)=3ℓ,

(ℓ+n)+(ℓ−m−n)+(ℓ+m)=3ℓ,

(ℓ−m)+(ℓ+m−n)+(ℓ+n)=3ℓ,

(ℓ+m+n)+(ℓ)+(ℓ−m−n)=3ℓ,

(ℓ−n)+(ℓ−m+n)+(ℓ+m)=3ℓ,

(ℓ−m)+(ℓ)+(ℓ+m)=(ℓ−n)+(ℓ)+(ℓ+n)=3ℓ.

Si se desea hacer aparecer los números 1,…,9 estamos obligados a escoger ℓ=5, pues la suma de todos los coeficientes vale 9ℓ, y es igual a

1+2+…+9=45.

A partir de esto, no es difícil determinar todas las posibilidades, que son 8 en total. Los cuadrados obtenidos se obtienen uno del otro por movimientos geométricos (4 rotaciones, 4 reflexiones [1]) Luo Shu aparece haciendo m=1 y n=3.

Otro cuadrado mágico interesante 3×3 se obtiene a partir de ℓ=59, m=−12 y n=42. Se trata del cuadrado mágico de números primos (distintos) más pequeño que existe.

71	89	17
5	59	113
101	29	47

Cuadrados panmágicos 4×4

Un cuadrado mágico es dicho panmágico (o diabólico) si las sumas a los largo de todas las diagonales (incluyendo las ’’quebradas’’ [2]) son las mismas. Los cuadrados mágicos 3×3 no son nunca panmágicos, con la excepción obvia de aquellos en que todas las entradas son iguales (esto se deduce directamente de las fórmulas de Lucas dadas más arriba). Por el contrario, existen cuadrados panmágicos 4×4, incluso con los números 1,2,…,16. De hecho, Chautisa Yantra exhibido anteriormente es un ejemplo.

Para los cuadrados panmágicos, otras combinaciones aparte de las filas, columnas y diagonales dan la misma suma. Dicho de otra forma, las relaciones panmágicas implican nuevas relaciones (se puede reconocer aquí la noción de ’’dependencia lineal’’), de modo que a partir de las 16 originalmente impuestas (4 filas, 4 columnas, 8 diagonales), finalmente se llega a 52. Esto aparece ilustrado a continuación para Chautisa Yantra. En cada cuadrado, los números de las casillas del mismo color suman 34.

suma de todos los coeficientes vale 9ℓ, y es igual a

1+2+…+9=45.

Otro cuadrado mágico interesante 3×3 se obtiene a partir de ℓ=59, m=−12 y n=42. Se trata del cuadrado mágico de números primos (distintos) más pequeño que existe.

71	89	17
5	59	113
101	29	47

Cuadrados panmágicos 4×4

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GEOMETERÌA JAPONESA

teoremas selectos de la geometría

En esta ocasión quiero presentar una serie de 4 teoremas poco conocidos de la geometría plana como son el teorema de Leudesdorff, el teorema de Blanchet, el teorema de Tartaglia y finalmente el teorema de Van Haubel esperando que esta información sea del provecho de todos ustedes me despido hasta una próxima ocasión.

Veamos.........

Teorema de Leudesdorff

“El área de todo cuadrado bicéntrico (ver figura adjunta)de lados “a”, “b”, “c” y “d” esta dado por:

Siendo O₁ el centro de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero sombreado.

O₂el centro de la circunferencia inscrita al cuadrilátero sombreado.

Demostración :

De la figura anterior: como el cuadrilátero es inscrito aplicamos el teorema de Brama-Gupta para hallar su área:

....(1)

donde es el semi-perímetro del cuadrilátero sombreado.Como además el cuadrilátero también es circunscrito aplicamos el teorema de Pitot:

....(2)

usando (2) y teniendo en cuenta que el semi-perímetro del cuadrilátero esta dado por se demuestra fácilmente que:

....(3)

Sustituyendo convenientemente (3) en (1) se desprende que:

l.q.q.d

Teorema de Blachet

“En todo triángulo de altura , al trazar las cevianas y

concurrentes con se establece que la altura será bisectriz del ángulo

, es decir de acuerdo a la figura:

Demostración:

Veamos la siguiente figura y los trazos adecuados que hay que efectuar y que

la demostración indica:

Por el punto B trazamos una paralela al lado AC tal que corta a las prolon

gaciones de y en los puntos y respectivamente.

Luego

Como ,y son concurrentes apliquemos el teorema de Ceva:

....(1)

Pero Δ es semejante con el Δ (ver triángulos sombreados de

Celeste) se cumple:

....(2)

Pero Δ es semejante con el Δ (ver triángulos sombreados de

verde) se cumple:

....(3)

Multiplicando (2) y (3) :

....(4)

Remplazando (1) en (5):

simplificando:

En consecuencia el Δ es isósceles y por tanto: l.q.q.d

Teorema de Tartaglia

En un triángulo escaleno siendo su baricentro y un punto interior cualquiera del triángulo de acuerdo a la figura mostrada:

Se cumple que:

Demostración :

Prolonguemos en ambos sentidos y trazamos las perpendiculares ,y

relativa a .

Aplicando al teorema de Euclides a los triángulos:

*: ....(1)

*: ....(2)

*: ....(3)

sumando miembro a miembro (1), (2) y (3) y ordenando convenientemente:

....(4)

por propiedad¹: ....(5)

Sustituyendo (5) en (4):

l.q.q.d

¹ Esta propiedad se demuestra de la siguiente manera: Centremos nuestra atención

en el triángulo y su baricentro y efectuemos los trazos indicados en la

figura :

Al ser MM₁//BB₁//AA₁entonces M₁ es punto medio de A₁B₁ luego:

descomponiendo : ....(1)

Sumemos a ambos miembros de (1) :

....(2)

De otro lado por propiedad del baricentro : .por semejanza de triángulos( ΔMNG ΔGC₁C) y teniendo en cuenta el resultado anterior:

.....(3)

Reemplazando (3) en (2) y teniendo en cuenta que de la figura:

Tendremos:

l.q.q.d

Teorema de Van Haubel

Si en un triángulo acutángulo ABC, desde el circuncentro “O” trazamos las perpendiculares OP, OM y ON a los lados ,y respectivamente (ver figura). Entonces Se cumple que:

donde:es el perímetro del triángulo ABC y el inradio del triángulo ABC.

Demostración:

Efectuemos nuevamente el gráfico anterior y algunos trazos auxiliares, veamos:

Unimos los puntos P, M y N para aprovechar estos puntos medios de ,y .

Nótese que , y

Respectivamente, luego por el teorema de los puntos medios: , , .Para aprovechar el circuncentro “O” trazamos los circunradios OA,OB y OC, donde:

donde es el circunradio del triángulo ΔABC.

Siendo los cuadriláteros APON, BPOM Apliquemos el teorema de Ptolomeo.

y MONC inscriptibles.

* Cuadrilátero APON: ....(1)

* Cuadrilátero BPOM: ....(2)

* Cuadrilátero MONC: ....(3)