Introducción
Esta introducción profundiza en los orígenes de la geometría no euclidiana, centrándose específicamente en el rechazo del quinto postulado de Euclides, el postulado paralelo. Durante siglos, los estudiosos intentaron demostrar este postulado como un teorema derivado de los otros cuatro, pero en el siglo XIX se determinó que era una propiedad independiente. Esto llevó al descubrimiento de geometrías elípticas e hiperbólicas. El plano hiperbólico tiene la propiedad de que, a través de un punto que no está en una recta dada, hay dos o más rectas paralelas. El texto también menciona teselaciones regulares en el plano euclidiano, que pueden formarse por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares, y plantea preguntas sobre teselaciones regulares en el plano hiperbólico y en la esfera.
Modelos de geometría hiperbólica plana
En la primera mitad del siglo XIX, se reconoció que diferentes geometrías dependen de la curvatura. La esfera tiene curvatura positiva, el plano euclídeo tiene curvatura cero y el plano hiperbólico tiene curvatura negativa. Eugenio Beltrami descubrió la pseudosfera como modelo de geometría hiperbólica en 1868, aunque no es un modelo completo. Los modelos globales, como el disco de Poincaré, son proyecciones de la pseudosfera y son útiles para describir todo el plano hiperbólico. En el disco de Poincaré, la pseudoesfera se proyecta dentro de su círculo límite, y sus geodésicas se transforman en arcos de círculos ortogonales al círculo límite.
El modelo de Poincaré
Desde la perspectiva euclidiana, los puntos fuera del círculo en el disco de Poincaré no existen en el plano hiperbólico, y los puntos en el círculo pueden considerarse puntos en el infinito. Los elementos básicos del modelo, los puntos y las líneas, tienen relaciones y propiedades que deben establecerse y verificarse. La noción de ángulo coincide con la euclidiana debido a la naturaleza conforme de la proyección. La unicidad de la línea recta que pasa por dos puntos distintos puede construirse y demostrarse mediante inversión de círculo. La noción de distancia en el modelo es inusual, ya que la distancia entre dos puntos crece indefinidamente cerca del círculo límite para mantener el postulado de la longitud infinita de la recta. La fórmula de la distancia se deriva del elemento de arco en el disco de Poincaré.
Inversión de círculo
La inversión de círculo, introducida por Jakob Steiner, es una transformación plana que asocia puntos de una manera específica respecto a un círculo. Es una transformación idempotente, y las líneas que pasan por el centro de inversión son fijas. La correspondencia determinada por la inversión de círculo puede construirse gráficamente. Tiene varias propiedades, como que los cuatro puntos relacionados por inversión pertenecientes al mismo círculo pertenecientes al círculo base, son anticonformes, transforman los círculos que pasan por el centro de inversión en líneas y viceversa, y preservan ciertas cantidades para cuatro puntos.
Simetría axial en el modelo de Poincaré
En el disco de Poincaré, la inversión circular respecto a una línea es la reflexión o simetría axial respecto a esa línea. Dadas dos rectas en el plano hiperbólico, se puede construir su eje de simetría. El texto también describe la construcción de un polígono central básico y la teselación del plano hiperbólico por simetría, con hexágonos que parecen más pequeños y menos regulares al acercarse al límite, pero que son iguales en el plano hiperbólico. Esta estructura puede verse en las obras de Escher.
Introducción
Este artículo comienza introduciendo el concepto de inversión de círculo, donde para un punto dado O en el plano y un número real positivo r (la constante de inversión), la imagen de inversión de un punto P es P′ tal que OP · OP′ = r². El círculo de radio r es invariante bajo esta transformación. Fue inventado por J. Steiner alrededor de 1830. También se describe la construcción del punto inverso P′ de cualquier punto P en el círculo usando regla y brújulas. Luego se presenta la inversión elíptica introducida por Childress. En la inversión elíptica, el círculo de inversión se reemplaza por una elipse. La aplicación se define como ψ(P) = P′, donde OP · OP′ = (OQ)², y el radio de inversión no es constante. Se mencionan algunas propiedades relacionadas y paquetes de Mathematica para calcular y mostrar curvas mediante inversión elíptica. El artículo pretende responder cómo construir un punto P′ inverso al punto P respecto a la elipse extendiendo la construcción geométrica de puntos inversos en un círculo y utilizando el software Geogebra.
Construcción geométrica de puntos elípticos
La inversión elíptica es una aplicación involutiva con puntos fijos en la elipse. La Proposición 1 establece que si P está en el exterior de la elipse, entonces P′ está dentro de ella, y viceversa. Se resumen algunas propiedades básicas sobre la inversión elíptica, incluyendo las relaciones entre puntos inversos elípticos, conjugados armónicos y la inversión elíptica de diferentes curvas. Los métodos de construcción para el inverso elíptico de un punto P se detallan tanto para puntos exteriores como interiores de la elipse. Para un punto exterior, la construcción implica líneas tangentes, y para un punto interior, implica bisectores y líneas perpendiculares.
Observaciones finales
El estudio de la inversión elíptica presenta problemas interesantes y desafiantes. Por ejemplo, se menciona la generalización de los problemas del porismo de Steiner o de Apolonio respecto a las elipses. Se cree que este tema podría conducir a un mayor desarrollo por parte de lectores interesados o de sus estudiantes, indicando posibles áreas para futuras exploraciones e investigaciones en el campo de la inversión elíptica.
Construindo tesselações hiperbólicas no disco de Poincaré com o GeoGebra
En este trabajo presentamos algunas características de la geometría del disco de Poincaré, una geometría hiperbólica en el plano, y asociamos algunas obras del artista gráfico holandés Maurits Cornelis Escher con tessellaciones en el círculo.
También empleamos las herramientas hiperbólicas de GeoGebra para construir figuras bidimensionales y una tessellación en el disco de Poincaré con triángulos hiperbólicos.
Concluimos que el GeoGebra es una excelente herramienta para ser explorada en el estudio de las geometrías no euclidianas en el plano, especialmente en el curso de Licenciatura en Matemáticas.
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